Probabilidades en La Bonoloto

Consiste em escolher 6 números de 1 a 49 e, no momento de carimbar o bilhete, o terminal nos dá um número de 0 a 9 para determinar o reembolso.
Os sorteios do Bonoloto acontecem às segundas, terças, quartas e sextas-feiras e o preço de cada aposta é de 0.50 EUR, com um mínimo de duas apostas por bilhete.
A probabilidade de ganhar um prêmio com 6 números corretos, 5+C, 5, 4 e 3 respostas corretas, é a seguinte:

Categoria	Acertos	Favorables	Probabilidade
1º	6	1/13.983.816	0,0000000715
2º	5 + C	6/13.983.816	0,000000429
3º	5	252/13.983.816	0,0000180
4º	4	13545/13.983.816	0,000969
5º	3	246.820/13.983.816	0,0176

As combinações possíveis no jogo são 13.983.816. Em outras palavras, há quase quatorze milhões de Combinações Ganhadoras possíveis, resultantes de tantas combinações de 6 números sobre 49 números possíveis.

A posição de cada número não é relevante em nosso estudo de probabilidade, portanto, a ordem em que os números saem é irrelevante.

Portanto, a probabilidade de ganhar um prêmio na primeira categoria com uma única aposta é de 13.983.816. Para as outras categorias, a probabilidade de ganhar um prêmio com uma única aposta é de uma entre:

Acertos	Probabilidad de acierto con 1 apuesta
6 Acertos	1 / 13.983.816
5+C Acertos	1 / 2.330.636
5 Acertos	1 / 55.491
4 Acertos	1 / 1.032 (0,097%)
3 Acertos	1 / 57 (1,77%)
Reembolso	1 / 10 (10%) (reintegro)

A probabilidade de não corresponder a nenhum número é de quase 50%, o que resulta da divisão dos casos favoráveis (6.096.454) pelos casos possíveis (13.983.816). No sorteio há 6 números da Combinação Ganhadora que são os escolhidos e, ao mesmo tempo, há 43 (49-6) números não escolhidos e, portanto, a probabilidade de que os seis números escolhidos não sejam os escolhidos é de 6.096.454/13.983.816 = 0,436

Para garantir o primeiro prêmio da categoria, teríamos que investir a quantia de 13.983.816/0,50 = 6.991.908 euros. Isto nos leva a considerar investir esta quantia de dinheiro se o jackpot for inferior a esta quantia, e mesmo em tal pressuposto, nosso investimento seria ruinoso se houvesse mais de um bilhete vencedor da primeira categoria.

Bonoloto: 6 Aciertos de Lotería

Para ganhar o prêmio máximo com uma única aposta você tem que acertar todos os 6 números, vamos ver a probabilidade de que isso aconteça:

• No primeiro número extraído, seis dos possíveis quarenta e nove casos são favoráveis, portanto temos que dividir 6/49 = 0,1224.
• Na segunda extração, tendo já sorteado um número, restam cinco números favoráveis e quarenta e oito possíveis, ou seja, 5/48 = 0,1042, e assim por diante, em progressão até chegarmos à sexta extração, onde dividiríamos o último número pelos 44 possíveis números restantes.
• 4/47 = 0,0851
• 3/46 = 0,0652
• 2/45 = 0,0444
• 1/44 = 0,02273
• 3/46 = 0,0652
• 2/45 = 0,0444
• 1/44 = 0,02273

Se você olhar para estes números, com cada acerto a probabilidade de acertar o próximo número vai para baixo. Se juntarmos essas probabilidades, podemos calcular a probabilidade de acertarmos todos os 6 números:
6/49*5/48*4/47*3/46*2/45*1/44 = 720/10,068,347,520 = 1/13,983,816 = 0,00000007

O jogo consiste em adivinhar 6 dos 49 números possíveis no bilhete. O bilhete é uma combinação de seis elementos das combinações possíveis que podem ser formados com os números 1, 2, 3, 4,..., 49. Portanto, o número de combinações possíveis é:

C (49 6) = 49*48*47*46*45*44/6! = 13.983.816

Bonoloto: 5 números corretos mais o número complementar

O prêmio da segunda categoria é concedido quando 5 dos 6 números da combinação vencedora são acertados, mais o chamado número complementar, que é sorteado aleatoriamente entre os 43 números que não fazem parte dessa combinação.

Si você acertou 5 dos 6 números, você tem uma chance de ganhar um prêmio maior. Uma sétima bola é sorteada e se você também acertar este número complementar, o prêmio é maior que o dos 5 números corretos, mas menor que o dos 6 números corretos.
Para acertar 5 das 6 bolas sorteadas você deve errar uma. Qualquer uma das 6 bolas escolhidas pode ser a bola errada. Imagine que você só falta a última. Então a probabilidade de acertar as primeiras cinco bolas e a sexta bola ser a complementar é:
6/49*5/48*4/47*3/46*2/45*1/44 = 720/10.068.347.520

Mas qualquer uma das 6 bolas pode ser a bola errada, então a probabilidade de acertar 5 de 6 e a complementar é:
6* 720/10.068.347.520 = 6/13.983.816 = 0,000000429

Em palavras, isso significa que por aposta jogou a probabilidade de acertar 5 números e o complementar é 6 vezes a probabilidade de acertar todos os 6 números, menos de 1 em 2 milhões (2.330.636) de chances.

Bonoloto: 5 números corretos

A 3ª categoria do prêmio consiste na correspondência de 5 dos 6 números vencedores.

Para acertar 5 das 6 bolas sorteadas, você deve errar uma. Qualquer uma das 6 bolas escolhidas pode ser a bola errada. Imagine que você só falha a última. Então a probabilidade de acertar as primeiras cinco bolas, mas não acertar a sexta (restam apenas 42 bolas se você remover as 6 bolas vencedoras e a bola complementar) tem a seguinte probabilidade:
9/49*5/48*4/47*3/46*2/45*42/44 = 30.240/10.068.347.520

Mas qualquer uma das 6 bolas pode ser a bola errada, então a probabilidade de acertar 5 de 6 é:
6* 30.240/10.068.347.520 = 181.440/10.068.347.520 = 252/13.983.816 = 0,000018

Em resumo, a probabilidade de acertar 5 das 6 bolas no bonoloto é 252 vezes a probabilidade de acertar todos os 6 números, mais ou menos 1 em 55.491 possibilidades.

Bonoloto: 4 números corretos

A 4ª categoria do prêmio consiste na correspondência de 4 dos 6 números vencedores.

Para acertar 4 das 6 bolas sorteadas, você deve errar dois números. Portanto, a probabilidade de acertar os 4 primeiros e falhar os dois últimos é:
6/49*5/48*4/47*3/46*43/45*42*44 = 650.160/10.068.347.520

Mas como a ordem dos números corretos e incorretos não importa, existem 15 combinações que dão o mesmo resultado.:
15* 650.160/10.068.347.520 = 9.752.400/10.068.347.520 = 13.545/13.983.816 = 0,000969

Em resumo, a probabilidade de acertar 4 de 6 bolas no bonoloto é 13545 vezes a probabilidade de acertar todos os 6 números, ou seja, mais ou menos 1 em 1032 possibilidades..

Bonoloto: 3 números corretos

A 5ª categoria do prêmio consiste na correspondência de 3 dos 6 números vencedores.

Para acertar 3 das 6 bolas sorteadas, você deve falhar três números. Então a probabilidade de acertar os 3 primeiros e errar os três últimos é:
6/49*5/48*4/47*43/46*42/45*41/44 = 8.885.520/10.068.347.520

Mas como a ordem dos números que estão certos e errados não importa, existem 20 combinações que dão o mesmo resultado:
20* 8.885.520/10.068.347.520 = 177.710.400/10.068.347.520 = 246.820/13.983.816 = 0,0177

Como você tem que acertar 3 dos 6 números vencedores, o número de bilhetes possíveis são combinações de 6 elementos tomados 3 por 3, C6,3 por combinações de 43 elementos tomados 3 por 3, C 43,3 (uma vez que eu acertei 3 números, os outros três podem ser qualquer um dos 43 números não ganhadores).

Em resumo, a probabilidade de acertar 3 das 6 bolas em Bonoloto é 246.820 vezes a probabilidade de acertar todos os 6 números, ou seja, mais ou menos 1 das 57 possibilidades.

Bonoloto: 0 números corretos

Não acertar nenhum dos 6 números não é difícil.

Existem 6 bons números e 43 números indesejados, portanto a probabilidade de que os seis números sorteados não sejam atingidos é:
43/49*42/48*41/47*40/46*39/45*38/44 = 4.389.446.880/10.068.347.520 = 6.096.454/13.983.816 = 0,436

Em conclusão, a probabilidade de errar qualquer número é de cerca de 1 em 2,29.